Graph Eigenfunctions and Quantum Unique Ergodicity

We apply the techniques of [BL10] to study joint eigenfunctions of the Laplacian and one Hecke operator on compact congruence surfaces, and joint eigenfunctions of the two partial Laplacians on compact quotients of H × H. In both cases, we show that quantum limit measures of such sequences of eigenfunctions carry positive entropy on almost every ergodic component. Together with the work of [Lin06], this implies Quantum Unique Ergodicity for such functions. Résumé: Nous appliquons les techniques de [BL10] d’étudier fonctions propres jointes du laplacien et d’un opérateur Hecke sur les surfaces compactes de congruence, et fonctions propres jointes des deux laplaciens partiels sur les quotients compacts de H × H. Dans les deux cas, nous montrons entropie strictement positive sur presque toutes les composantes ergodiques des limites quantiques. Avec les travaux de [Lin06], ce implique Unique Ergodicité Quantique pour ces fonctions. 1. Version française abrégée Notre premier résultat concerne certaines surfaces compactes arithmétiques Γ\H de type congruence. On peut considèrer des surfaces plus général, mais pour simplifier, nous limiter à la situation suivante.. Soit H une algèbre à division de quaternions sur Q, scindée sur (R), etR un ordre dansH. Fixons un isomorphisme Ψ : H(R) ∼= Mat2(R). Si la norme n(α) de α ∈ R est positive, on écrit α = n(α)−1/2Ψ(α) ∈ SL2(R). On note Γ l’image par Ψ du sous-groupe des éléments de R ayant norme unitaire. Le sous-groupe Γ est discret et co-compact dans SL2(R), et le quotient X = Γ\SL2(R) est donc un recouvrement à deux feuillets du fibré unitaire cotangent d’une surface compacte hyperbolique M = Γ\H. Ecrivons R(m) pour l’ensemble des éléments de R ayant norme m, et définissons l’opérateur de Hecke Tm : f(x) 7→ 1 √ m ∑